Стохастический анализ
Описание
Стохастический анализ изучает стохастическое интегрирование. Впервые стохастический интеграл по винеровскому процессу был предложен К. Ито в годы Второй мировой войны. В дальнейшем это понятие обобщалось. Французская школа, а именно П.А. Мейер, К. Деллашери и т.д., определили стохастический интеграл на семимартингалах, допускающих скачки. Для изучения процессов со скачками в курсе дается общая теория случайных процессов. Несмотря на свое название, это довольно узкий раздел, подробно изучающий фильтрации, марковские моменты, согласованность процессов с фильтрациями. Далее дается теория мартингалов. Основным результатом в двнном разделе является теоремма Дуба-Мейера – обобщение теоремы Дуба в дискретном времени. Во втором семестре рассматривается собственно теория интегрирования. Основными результатами являются теорема Деллашери-Мейера-Мокободского и формула Ито для семимартингалов со скачками.
Данный курс готовит слушателей к изучению моделей цен и волатильностей со скачками.
Предварительные требования:
-
Теория случайных процессов: Формула Ито для винеровского процесса
-
Функциональный анализ: Банаховы и гильбертовы пространства
-
Дополнительные главы теории меры: Теорема о монотонных классах