Функциональный анализ
Описание
Функциональный анализ – раздел математики, изучающий бесконечномерные пространства. Он является синтезом линейной алгебры, топологии и анализа. Современная математика во многом опирается на функциональный анализ.
Основные понятия курса: метрические пространства, нормированные пространства, банаховы пространства, гильбертовы пространства, линейные непрерывные операторы, сопряженные операторы, компактные операторы, теория Фредгольма, спектр оператора.
Из более современных концепций разбираются слабые топологии и (неметризуемые) локально выпуклые пространства.
Основные теоремы: теорема Хана-Банаха, Банаха-Штейнгауза, Банаха об обратном операторе.
Предварительные требования:
-
Действительный анализ: Интеграл Лебега важен для построения функциональных гильбертовых пространств.
-
Топология: Необходима для работы с неметризуемыми топологическими векторными пространствами
-
ТФКП: Расчет проеобразования Фурье через комплексные интегралы
Используется в:
-
Марковские процессы: Банаховы и гильбертовы пространства
-
Стохастический анализ: Банаховы и гильбертовы пространства
-
Грубые траектории и регулярная структура: Различные функциональные просранства
-
Вязкостные решения: Теорема Арцела-Асколи и теорема Банаха о сжимающих отображения, туда же теорема о неподвижной точке. На теореме Банаха строится целый метод доказательства существования решения, а теорема Арцела-Асколи применяется при док-ве некоторых теорем (скорее всего нужны еще какие-то точечные факты). Понимание, что такое норма (встречается везде) и сходимости (слабо, сильно, п.в.) (в конце курса во многих теоремах применяются связи между разными видами сходимостей в разных пространствах).
-
Вариационное исчисление и оптимальное управление: Для поиска оптимального управления нужны бесконечномерные пространства.
-
Теория случайных процессов: Гильбертовы пространства
-
Стохастические дифференциальные уравнения: Банаховы и гильбертовы пространства
-
Оптимальный транспорт: Позволит быстрее вникнуть в доказательства непрерывности тех или иных функционалов и лучше работать с неметризуемыми пр-вами. (отредактировать).