Линейная алгебра

Описание

Линейная алгебра — это раздел алгебры, изучающий векторные пространства и их подпространства, линейные отображения (операторы), линейные, билинейные и квадратичные функции (функционалы или формы) на векторных пространствах. Почти все математические дисциплины так или иначе оперируют базовыми понятиями линейной алгебры, на которых всё строится вокруг — это скаляры, векторы, матрицы и тензоры.

Предварительные требования:

  • Аналитическая геометрия: Теория кривых второго порядка улучшает понимание квадратичных форм (в частности, метод приведения к каноническому виду уравнений)”, “аналитическая геометрия закладывает базовые понятия начал линейной алгебры (линейные операции над векторами, произведения векторов, матрицы и операции над ними, определители, обратная матрица и ранг матрицы, слау)

Используется в:

  • Функциональный анализ: Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к функциональным пространствам и в определенной мере базируется на методах линейной алгебры. Линейная алгебра - фундаментальная часть функционального анализа и его приложений (например, квантовая механика с волновыми функциями и анализ Фурье с ортогональным базисом). Для функционального анализа необходимо знание основных понятий: преобразования, линейные операторы, собственные векторы и собственные значения, ядро и образ… В случае сепарабельности пространства $H$ ортонормированный базис строят «вручную» с помощью ортогонализации Грама-Шмидта.

  • Дифференциальные уравнения: Сложные и нелинейные уравнения можно линеаризовать с помощью методов линейной алгебры, что позволяет упростить решения и анализ (исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной).

  • Дифференциальная геометрия: Владение тензорным исчислением нужно для записывания уравнений в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета (общековариантная форма записи). В дифференциальной топологии и геометрии для изучения гладких (в том числе римановых) многообразий.

  • Теория игр: Матрицы

  • Математическая статистика: Скалярное произведение, действия с матрицами

  • Общая алгебра: Группы матриц — основной пример.

  • Математический анализ - 2: “Интегрирование и дифференцирование для функций многих переменных”

  • Эконометрика (прикладная): Буквально начиная с КЛММР необходимо уметь обращаться с матрицами. Далее по курсу везде используется линейная алгебра.

  • Теория вероятностей: Скалярное произведение, действия с матрицами

  • Введение в машинное обучение: Многомерные данные, регрессии, нейронные сети…

  • Методы Монте-Карло:

  • Выпуклый анализ: Многомерные функции

  • Численные методы: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса или итерационными методами (простая итерация, релаксация, сопряженные градиенты и т.д.)

Смотреть также: