Математический анализ - 2
Описание
Раздел математики, изучающий свойства функций в рамках анализа бесконечно малых величин, дифференцирования и интегрирования. Основные понятия второй части курса: несобственные интегралы, ряды и их сходимость, кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
Прежде всего, математический анализ - это возможность освоить систему математического мышления, объединяющую все разделы математики. Есть здесь и чисто практический аспект: основные объекты математического анализа возникают во всех разделах математики.
Предварительные требования:
-
Линейная алгебра: “Интегрирование и дифференцирование для функций многих переменных”
-
Аналитическая геометрия: Нужно владеть формулами замены координат для подсчёта интегралов (углы Эйлера, полярные/сферические/цилиндрические координаты и т.п.)”; “владение понятиями «прямые на плоскости и плоскости/прямые в пространстве» и теорией кривых второго порядка нужно для задач нахождения условного экстремума с помощью метода множителей Лагранжа
-
Математический анализ - 1: Вторая часть анализа опирается на первую
Используется в:
-
Уравнения в частных производных: Для решения уравнений в частных производных обязательно знание кратных интегралов и рядов.
-
Дифференциальная геометрия: постоянно обращается к понятиям дифференциальной формы, интеграла по ней и соответствующим теоремам (формула Стокса, ориентированный объем и тд). Кроме того, курсы очень часто ссылаются на теорему о неявной функции. Вычисления, возникающие в различных разделах дифференциальной геометрии, нередко очень трудоемки и требуют очень хорошей техники взятия частных производных.
-
Теория вероятностей: В теории вероятностей есть целые категории задач, требующих хорошей техники интегрирования. К примеру, доказательство того, что плотность нормального распределения является плотностью (в частности, нормирована правильно) требуется привлечения теорем из математического анализа (как минимум, понятие о несобственном интеграле, интегрирование по частям, перестановка пределов и сходимость): в задачнике БП Демидовича даже есть упражнение на это.
-
ТФКП: ТФКП понятия производной и интеграла обобщаются на функции комплексного переменного. Кроме того, вычисление вычетов (для вычисления интегралов по теореме Коши о вычетах), требует хорошей техники вычисления пределов.