Оптимальный транспорт
Описание
Оптимальный транспорт – курс о том, как решать задачу переноса распределений. Эта задача восходит к задаче Монжа–Канторовича. Данная задача возникает в экономике как задача логистики в широком смысле, а ее дискретная версия является одним из видов задачи линейного программирования. Более общая динамическая постановка, которая приобрела новый виток популярности среди исследователей в связи возникновением этой задачи в гидромеханике, имеет глубокие связи с теорией уравнений в частных производных. За счет своей универсальной постановки задача оптимального транспорта по сей день находит все новые приложения в финансовой математике, например, в робастных финансах или построении моделей локальной волатильности; в машинном обучении, например в построении генеративных моделей. На данный момент разработка эффективных численных методов для решения различных видов задачи оптимального транспорта является очень активной областью исследований.
Одним из важных инструмнтов являются метрики на пространствах мер / траекторий. В научной деятельности полезно иметь представление о них и о том, как их вычислять.
Предварительные требования:
-
Топология: Позволит быстрее вникнуть в доказательства непрерывности тех или иных функционалов и лучше работать с неметризуемыми пр-вами.
-
Функциональный анализ: Позволит быстрее вникнуть в доказательства непрерывности тех или иных функционалов и лучше работать с неметризуемыми пр-вами. (отредактировать).
-
Уравнения в частных производных: Позволит лучше понять динамическую формулировку задачи ОТ.
-
Выпуклый анализ: Позволит глубже понять идею дуальности и даст строгий аппарат для работы с выпуклыми функциями. Знание базовых алгоритмов выпуклой оптимизации поможет быстрее разобраться с алгоритмической частью курса.
Используется в:
-
Игры среднего поля: Метрика Канторовича
-
Мартингальный транспорт и модельно независимый хэджинг: Задача робастных финансов при дополнительной информации в виде маргинальных распределений является модифицированной задачей ОТ.