Вязкостные решения
Описание
В курсе изучаются методы исследования существования решений УрЧП (в частности эллиптических). Вводится понятие вязкостного решения (тип решения дифференциального уравнения в частных производных), методы его отыскания и связь с классическим решением.
Предварительные требования:
-
Уравнения в частных производных: Здесь главное понимать что такое уравнения в частных производных. Знание самих методов и теорем из УрЧП не так важны, то есть без знаний, что такое функция Грина или метод Фурье, на вязкостных решениях можно чувствовать себя комфортно. Исключения: принцип максимума (на этом строится добрая часть курса) и теоремы Коши-Ковалевской (это база).
-
Функциональный анализ: Теорема Арцела-Асколи и теорема Банаха о сжимающих отображения, туда же теорема о неподвижной точке. На теореме Банаха строится целый метод доказательства существования решения, а теорема Арцела-Асколи применяется при док-ве некоторых теорем (скорее всего нужны еще какие-то точечные факты). Понимание, что такое норма (встречается везде) и сходимости (слабо, сильно, п.в.) (в конце курса во многих теоремах применяются связи между разными видами сходимостей в разных пространствах).
Используется в:
-
Стохастическое оптимальное управление: Вязкостные решения уравнений Гамильтона–Якоби–Беллмана.
-
Игры среднего поля: Вязкостное решение уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана